第一百三十九章 二试
云泽省的数学竞赛队伍在老孟的带领下开始返航。
路上遇到了一群来自其他省的选手们。
“呜呜呜,郭老师,我不配去清北……”
“老郭你说得对,我只配上江城这种二流的垃圾学校,我回去就改志愿。”
……
这似曾相识的对话。
怎么说好呢?
只能说,博苏克乌拉姆定理表明,任何一个、嗯,任何一个从n维球面到欧几里得n维空间的连续函数,都一定把某一对对蹠点映射到同一个点……
这个映射定理应用到人生也是一样的啊!
伊诚在内心发出一声感叹。
换句话说,幸福的人生各有各的幸福。
不幸的人生总是相似。
……
回到酒店之后,孟老师根据选手们的回忆,记录题目,并且为大家进行复盘。
……
第二天,二试开始。
从8点半到12点半。
时间依旧是4个半小时。
每题依然是21分。
考场内纸笔沙沙作响。
就像是下雨一样。
只不过这种润物细无声式的安静,比真实的战场更加可怕。
在伊诚这个考场内,40个顶尖的大脑进入了心流模式。
第一题送分题:
证明:当素数a大于等于7时,a41能被240整除。
题目非常简单。
是个参加奥数比赛的学生都会。
一般情况下都会照顾选手们的自尊,所以题目不会出得太难。
这题确实是送分题。
整除相关的数论理论就那么多。
伊诚只瞟了一眼就知道这题该用费马小定理。
其他人不可能不知道。
伊诚不指望靠它拉分,只希望后面两道题能难一些。
最起码不要低于昨天切蛋糕的水准。
费马这个人举世闻名,因为他在读丢番图这本书的时候,在第11卷第8命题旁写道:“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信已发现了一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下。”
这就是非常有名的费马大定理,从1637年开始,一直到1986年才由英国数学家安德鲁·怀尔斯完成了最后的证明。
也因为费马皮了那么一下,之后出版的数学书后面都会留出一页空白,防止别人有借口说写不下。
费马是一个改变了数学史和数学教材制作的人。
但是,很多人其实不怎么熟悉费马小定理。
或者说不是从事数学专业的人很少听说过费马小定理。
这个东西是跟欧拉定理、中国的孙子定理和威尔逊定理一起并成为数论四大定理的可怕存在。
所以,费马小定理讲述了一个什么事情呢?
它说:
如果p是一个质数,而整数a不是p的倍数,则有a(p1)≡1(odp)
……
那么这题的证明就非常简单了。
伊诚不假思索,提笔写到——
证:
素数a大于等于7,a是奇数。
又a41(a1)(a+1)(a2+1)
且……
通过费马小定理有:
(3,a)
(5,a)
所以……
最后得证:
……
花了10分钟的时间,伊诚证明完第一题,开始攻略第二题。
这题有两问:
假设你生活在13世纪的罗马,你手上有10个整数克重的砝码和一个天平。
现在国王要你让测量出他身上的一件东西。
这件物品的重量在1到88克之间。
1、你是否能做到?甚至少了任何一个砝码也能做到这一点?
2、加入砝码数量增加到12个,其中可以有相同重量的砝码,用天平量出国王给你的一件物品。
这件物品在159克之间。
你是否能做到,甚至少了任何两个砝码也能做到这一点?
伊诚看完了题目,心中至少有4种不同的证明方式。
但是这题有点奇怪的地方在于——
它规定了时代背景。
你生活在13世纪,并且是欧洲。
这个时期的欧洲数学还比较落后,它刚从衰落阶段开始复苏。
所以伊诚能用来证明题目的方法,也只能是这个时期以前的。
他先尝试对题目进行拆解——
取n个砝码,记第i个砝码的重量为
对于重量为的物体,可以用n个砝码测出它的重量。
当n1时,
于是,f311,1时,显然可以测出。
然后再讨论n和n+1时的情况……
通过归纳假设……
可以得到第1问的证明。
在这里,通过多次枚举之后,伊诚发现了一些规律——
真是美丽的数字关系。
如此美丽的数字关系,只有一种东西可以解释:
斐波那契数列。
斐波那契是13世纪初的数学家,运用它的理论不会违背这个时代背景的原则。
所以,当发现规律为斐波那契数列之后,对于第2问就简单得多了。
伊诚提笔写到——
构造广义斐波那契数列:n1+gn3n大于等于4)。
用归纳假设,可以说明对于这样的n个砝码,即使任意去掉其中的两个,仍然能称出重量1到g(n+1)1的物体。(13)
所以第二问得证。
可以找到满足题意的12个砝码称量159范围内的物体。
答完题。
伊诚闭上眼睛,细细地品味着。
不得不说出题人真的很棒。
至少他让人在这道题目中领略了什么是数学之美。
不单单是因为斐波那契数列是黄金分割,本身就具有艺术美感。
更关键的是,这题反应了从探索到猜想,再到证明的数学之美。
啧啧。
伊诚砸吧着嘴唇,在陶醉了一番后,继续攻克最后一道大题。
现在时间才过去了三分之一。
最后一题是一道证明题:
设s为r3中的抛物面z(x2+y2)/2,pa,b,c为s外一固定点,满足a2+b2大于2c,过p点作s的所有切线。
证明:这些切线的切点落在同一平面上。
本来以为是压轴题,应该有点难度,但是伊诚稍加思索,发现这题并不难。
在几何中,有一个非常厉害的王者咖喱棒。
它就是向量。
只要使用向量这把咖喱棒,就能把一切都斩于无形。
伊诚略加思索,运用向量把题目证明完毕。
完了以后,他发现了一个神奇的事情——
这道题目不只是在二维平面上是可证的,甚至可以推广到二次曲面上。
于是伊诚又用向量证明了二次曲面的推广命题。
做完这些,伊诚在想,既然二次曲面也是可行的,那么有没有可能推广到3次?
当他忘乎所以,在草稿纸上进行更高维度的推广时——
考试时间结束了。
按照竞赛的要求,考官会把考卷连同草稿纸一起密封进行考核。
伊诚一脸茫然,对最后的步骤没有做完耿耿于怀。
“这次不像你啊!”
在赛场门口,李安若抱着双手嘲讽到。
“你不是次次都是第一个交卷的吗?”99.。.99.
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路上遇到了一群来自其他省的选手们。
“呜呜呜,郭老师,我不配去清北……”
“老郭你说得对,我只配上江城这种二流的垃圾学校,我回去就改志愿。”
……
这似曾相识的对话。
怎么说好呢?
只能说,博苏克乌拉姆定理表明,任何一个、嗯,任何一个从n维球面到欧几里得n维空间的连续函数,都一定把某一对对蹠点映射到同一个点……
这个映射定理应用到人生也是一样的啊!
伊诚在内心发出一声感叹。
换句话说,幸福的人生各有各的幸福。
不幸的人生总是相似。
……
回到酒店之后,孟老师根据选手们的回忆,记录题目,并且为大家进行复盘。
……
第二天,二试开始。
从8点半到12点半。
时间依旧是4个半小时。
每题依然是21分。
考场内纸笔沙沙作响。
就像是下雨一样。
只不过这种润物细无声式的安静,比真实的战场更加可怕。
在伊诚这个考场内,40个顶尖的大脑进入了心流模式。
第一题送分题:
证明:当素数a大于等于7时,a41能被240整除。
题目非常简单。
是个参加奥数比赛的学生都会。
一般情况下都会照顾选手们的自尊,所以题目不会出得太难。
这题确实是送分题。
整除相关的数论理论就那么多。
伊诚只瞟了一眼就知道这题该用费马小定理。
其他人不可能不知道。
伊诚不指望靠它拉分,只希望后面两道题能难一些。
最起码不要低于昨天切蛋糕的水准。
费马这个人举世闻名,因为他在读丢番图这本书的时候,在第11卷第8命题旁写道:“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信已发现了一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下。”
这就是非常有名的费马大定理,从1637年开始,一直到1986年才由英国数学家安德鲁·怀尔斯完成了最后的证明。
也因为费马皮了那么一下,之后出版的数学书后面都会留出一页空白,防止别人有借口说写不下。
费马是一个改变了数学史和数学教材制作的人。
但是,很多人其实不怎么熟悉费马小定理。
或者说不是从事数学专业的人很少听说过费马小定理。
这个东西是跟欧拉定理、中国的孙子定理和威尔逊定理一起并成为数论四大定理的可怕存在。
所以,费马小定理讲述了一个什么事情呢?
它说:
如果p是一个质数,而整数a不是p的倍数,则有a(p1)≡1(odp)
……
那么这题的证明就非常简单了。
伊诚不假思索,提笔写到——
证:
素数a大于等于7,a是奇数。
又a41(a1)(a+1)(a2+1)
且……
通过费马小定理有:
(3,a)
(5,a)
所以……
最后得证:
……
花了10分钟的时间,伊诚证明完第一题,开始攻略第二题。
这题有两问:
假设你生活在13世纪的罗马,你手上有10个整数克重的砝码和一个天平。
现在国王要你让测量出他身上的一件东西。
这件物品的重量在1到88克之间。
1、你是否能做到?甚至少了任何一个砝码也能做到这一点?
2、加入砝码数量增加到12个,其中可以有相同重量的砝码,用天平量出国王给你的一件物品。
这件物品在159克之间。
你是否能做到,甚至少了任何两个砝码也能做到这一点?
伊诚看完了题目,心中至少有4种不同的证明方式。
但是这题有点奇怪的地方在于——
它规定了时代背景。
你生活在13世纪,并且是欧洲。
这个时期的欧洲数学还比较落后,它刚从衰落阶段开始复苏。
所以伊诚能用来证明题目的方法,也只能是这个时期以前的。
他先尝试对题目进行拆解——
取n个砝码,记第i个砝码的重量为
对于重量为的物体,可以用n个砝码测出它的重量。
当n1时,
于是,f311,1时,显然可以测出。
然后再讨论n和n+1时的情况……
通过归纳假设……
可以得到第1问的证明。
在这里,通过多次枚举之后,伊诚发现了一些规律——
真是美丽的数字关系。
如此美丽的数字关系,只有一种东西可以解释:
斐波那契数列。
斐波那契是13世纪初的数学家,运用它的理论不会违背这个时代背景的原则。
所以,当发现规律为斐波那契数列之后,对于第2问就简单得多了。
伊诚提笔写到——
构造广义斐波那契数列:n1+gn3n大于等于4)。
用归纳假设,可以说明对于这样的n个砝码,即使任意去掉其中的两个,仍然能称出重量1到g(n+1)1的物体。(13)
所以第二问得证。
可以找到满足题意的12个砝码称量159范围内的物体。
答完题。
伊诚闭上眼睛,细细地品味着。
不得不说出题人真的很棒。
至少他让人在这道题目中领略了什么是数学之美。
不单单是因为斐波那契数列是黄金分割,本身就具有艺术美感。
更关键的是,这题反应了从探索到猜想,再到证明的数学之美。
啧啧。
伊诚砸吧着嘴唇,在陶醉了一番后,继续攻克最后一道大题。
现在时间才过去了三分之一。
最后一题是一道证明题:
设s为r3中的抛物面z(x2+y2)/2,pa,b,c为s外一固定点,满足a2+b2大于2c,过p点作s的所有切线。
证明:这些切线的切点落在同一平面上。
本来以为是压轴题,应该有点难度,但是伊诚稍加思索,发现这题并不难。
在几何中,有一个非常厉害的王者咖喱棒。
它就是向量。
只要使用向量这把咖喱棒,就能把一切都斩于无形。
伊诚略加思索,运用向量把题目证明完毕。
完了以后,他发现了一个神奇的事情——
这道题目不只是在二维平面上是可证的,甚至可以推广到二次曲面上。
于是伊诚又用向量证明了二次曲面的推广命题。
做完这些,伊诚在想,既然二次曲面也是可行的,那么有没有可能推广到3次?
当他忘乎所以,在草稿纸上进行更高维度的推广时——
考试时间结束了。
按照竞赛的要求,考官会把考卷连同草稿纸一起密封进行考核。
伊诚一脸茫然,对最后的步骤没有做完耿耿于怀。
“这次不像你啊!”
在赛场门口,李安若抱着双手嘲讽到。
“你不是次次都是第一个交卷的吗?”99.。.99.
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