第一百三十二章 这位同学,你来讲讲吧
“本科阶段的泛函分析我们以学习线性泛函分析分析为主,非线性泛函分析一般要等到研究生阶段才开始学习。线性泛函分析主要内容,归纳起来,就是我们常说的一王一后以及四大天王。一王一后就是贝尔纲定理和Hahn-Banach定理,四大天王分别是开映射定理,闭图像定理,Banach-Steinhaus定理,闭值域,Mazur定理……”
这是一堂复习课,那老师也不多话,直接在课堂上开讲:“今天,我们就从一王一后以及四大天王入手,梳理本学期所学过的相关知识点,包括闭算子的谱分析,对称算子的自伴延,算子半群理论,线性单调算子,算子代数……”
庞学林在座位上打了个哈欠,他居住的那个招待所隔音效果一般,昨晚没睡好,这几天又一直在赶路,他着实有些累了。再加上老师讲课时还带了部分方言口音,语气不温不火,虽然讲的内容没什么问题,但还是让人感觉犯困。
庞学林不知不觉闭上了眼。
也不知过了多久,庞学林突然被一阵喧闹声吵醒。
他有些茫然地睁开眼,便发现教室里不少学生正用戏谑的眼神看着自己。
讲台上,那位秃顶教授正朝自己所在的方向说话:“那位穿军绿大衣的同学,上课时间睡得这么香,看样子你应该什么都会了吧,你过来过来,帮我解一解这道题……”
庞学林环顾四周,然后有些茫然地指了指自己:“老师,我吗?”
“对,说的就是你!快点上来,帮我把黑板上这道题解了……”
“老师,我不是……”
“你上不上来?不上来的话就给我出去,不过你这门课也别想考了。”
“这……好吧!”
庞学林犹豫了片刻,还是选择起身。
他原本想着等下课之后找这个教授套套话,问一下几大期刊的地址。
现在如果直接出去,那可真把人家给得罪了。
庞学林走上讲台,众人这才看清楚他那一身装扮。
一身破旧的军大衣,里面隐约可以看到黑色的棉布袄,布袄领子口的线头掉了,露出小半截棉花。
他脚上踩着一双黑布鞋,但几天赶路下来,原本浆洗干净的布鞋早就变脏兮兮不成样了。
这个年代,大学生还是天之骄子,就算家里再穷,也有几身用来对换的体面衣服。
如果不是庞学林本身气质形象都不错,就他这副衣着打扮,早就被人当做是农村出来的盲流了。
“这人是哪班的啊?以前怎么没见过,这身打扮够可以啊!”
“老王的课都敢睡觉,这家伙胆子真大。”
“我估计他已经放弃临时抱佛脚的念头了,泛函分析太tm难了,老王讲课口音又重,我都犯困想睡觉了……”
……
台下的学生们议论纷纷,一个个好奇地看着庞学林。
王崇庆看着庞学林的装扮,皱了皱眉,说道:“同学,这道题,你来解吧!”
庞学林点了点头,看着黑板上的题目。
【设E,F是两个Banach空间,令A:D(A)??E→F为一个闭算子,且D(A)??=E。求证:D(A??)??σ(F′,F)=F′D(A??)??σ(F′,F)=F′。
其中A??是A的伴随算子,F′是F的对偶空间,σ(F′,F)为F′上的弱*拓扑,D(A??)??σ(F′,F)表示D(A??)在弱*拓扑σ(F′,F)下的闭包。】
将题目浏览完,庞学林几乎没怎么思考,直接开始在下面写下答案。
【结论1:设F是E的子向量空间满足F??≠E.则存在f∈E'不为0,使得(f,x)=0,??x∈F。
结论2:设??:E′→R是线性映射,且对拓扑σ(E′,E)连续,则存在x∈E使得??(f)=(f,x),??f∈E′。
证明:设??是F′上对拓扑σ(F′,F)连续的线性泛函,在D(A??)上取值为0。由结论1,为证弱*拓扑下的稠密性,只需证明??≡0。
由结论2,存在x∈F使得……】
庞学林的书写速度很快,整个证明过程几乎没怎么停顿,只用了不到两分钟,就完成了答题工作。
“老师,答完了,应该没什么问题吧?”
王崇庆有些出神,这道题在泛函分析中,算的上是压轴大题了,对本科生而言,有一定难度。
他原本都准备等庞学林答不出来的时候,再好好教训他一番,可没想到到这家伙的基础似乎还不错,竟然眨眼间就给出了证明。
无论是证明思路还是过程,都简洁明了,几乎无懈可击。
台下,也响起了学生们的议论声。
“这家伙到底是谁啊,深藏不漏呀!”
“这道题我一直没什么思路,没想到他竟然这么快就给解出来了。”
“看样子我们数学系牛人还挺多的。”
……
不少人纷纷将目光聚焦到庞学林身上。
王崇庆脸色微沉,上课睡觉,就算成绩再好也不行,他可不想轻易放过这家伙。
他想了想,说道:“这位同学,看来你的基础不错,那你就给大家讲讲,你对泛函分析这门课的理解吧。”
泛函分析本质上属于高度抽象化的一门课程,这也是它难学的原因,就算让一位博士上台,也不一定能完完整整地将自己对这门课的理解描述出来。
王崇庆嘴角微微翘起,他可不相信一个本科生有这样的能耐。
“老师,你确定……让我来讲课?”
庞学林笑了起来。
“确定!”
王崇庆隐隐感觉到对方的笑容中有点诡异,不过他还是点了点头。
庞学林道:“既然如此,那我就从泛函分析这门课的历史开始说起吧。”
“众所周知,泛函分析这门学科诞生于20世纪的初期,本身是数学发展中公理化的一个结果。也就说,数学家希望实现分析学的公理化。同样的公理化运动也出现在几何和代数上。现在的泛函分析已经变成一个庞然巨兽了,特别是把它和调和分析放在一起的时候,很难分清楚什么叫做调和分析,什么叫做泛函分析。不过我接下来要讲的不是为了搞清楚它的定义,而是关注它的基础和未来的发展趋势。”
“我们首先讨论一些早期的抽象分析,尤其是数学家如何将一个特殊的例子扩大化,使之成为一般意义上的定理。我们的讨论主要涵盖以下内容。一、Fredholm,Hilbert关于积分方程的工作;二、Volterra和Hadamard关于动量问题的研究;三、Lebesgue,Frechet和Riesz在抽象空间上的工作以及最后,Hahn和Banach关于对偶这个概念的研究……”
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这是一堂复习课,那老师也不多话,直接在课堂上开讲:“今天,我们就从一王一后以及四大天王入手,梳理本学期所学过的相关知识点,包括闭算子的谱分析,对称算子的自伴延,算子半群理论,线性单调算子,算子代数……”
庞学林在座位上打了个哈欠,他居住的那个招待所隔音效果一般,昨晚没睡好,这几天又一直在赶路,他着实有些累了。再加上老师讲课时还带了部分方言口音,语气不温不火,虽然讲的内容没什么问题,但还是让人感觉犯困。
庞学林不知不觉闭上了眼。
也不知过了多久,庞学林突然被一阵喧闹声吵醒。
他有些茫然地睁开眼,便发现教室里不少学生正用戏谑的眼神看着自己。
讲台上,那位秃顶教授正朝自己所在的方向说话:“那位穿军绿大衣的同学,上课时间睡得这么香,看样子你应该什么都会了吧,你过来过来,帮我解一解这道题……”
庞学林环顾四周,然后有些茫然地指了指自己:“老师,我吗?”
“对,说的就是你!快点上来,帮我把黑板上这道题解了……”
“老师,我不是……”
“你上不上来?不上来的话就给我出去,不过你这门课也别想考了。”
“这……好吧!”
庞学林犹豫了片刻,还是选择起身。
他原本想着等下课之后找这个教授套套话,问一下几大期刊的地址。
现在如果直接出去,那可真把人家给得罪了。
庞学林走上讲台,众人这才看清楚他那一身装扮。
一身破旧的军大衣,里面隐约可以看到黑色的棉布袄,布袄领子口的线头掉了,露出小半截棉花。
他脚上踩着一双黑布鞋,但几天赶路下来,原本浆洗干净的布鞋早就变脏兮兮不成样了。
这个年代,大学生还是天之骄子,就算家里再穷,也有几身用来对换的体面衣服。
如果不是庞学林本身气质形象都不错,就他这副衣着打扮,早就被人当做是农村出来的盲流了。
“这人是哪班的啊?以前怎么没见过,这身打扮够可以啊!”
“老王的课都敢睡觉,这家伙胆子真大。”
“我估计他已经放弃临时抱佛脚的念头了,泛函分析太tm难了,老王讲课口音又重,我都犯困想睡觉了……”
……
台下的学生们议论纷纷,一个个好奇地看着庞学林。
王崇庆看着庞学林的装扮,皱了皱眉,说道:“同学,这道题,你来解吧!”
庞学林点了点头,看着黑板上的题目。
【设E,F是两个Banach空间,令A:D(A)??E→F为一个闭算子,且D(A)??=E。求证:D(A??)??σ(F′,F)=F′D(A??)??σ(F′,F)=F′。
其中A??是A的伴随算子,F′是F的对偶空间,σ(F′,F)为F′上的弱*拓扑,D(A??)??σ(F′,F)表示D(A??)在弱*拓扑σ(F′,F)下的闭包。】
将题目浏览完,庞学林几乎没怎么思考,直接开始在下面写下答案。
【结论1:设F是E的子向量空间满足F??≠E.则存在f∈E'不为0,使得(f,x)=0,??x∈F。
结论2:设??:E′→R是线性映射,且对拓扑σ(E′,E)连续,则存在x∈E使得??(f)=(f,x),??f∈E′。
证明:设??是F′上对拓扑σ(F′,F)连续的线性泛函,在D(A??)上取值为0。由结论1,为证弱*拓扑下的稠密性,只需证明??≡0。
由结论2,存在x∈F使得……】
庞学林的书写速度很快,整个证明过程几乎没怎么停顿,只用了不到两分钟,就完成了答题工作。
“老师,答完了,应该没什么问题吧?”
王崇庆有些出神,这道题在泛函分析中,算的上是压轴大题了,对本科生而言,有一定难度。
他原本都准备等庞学林答不出来的时候,再好好教训他一番,可没想到到这家伙的基础似乎还不错,竟然眨眼间就给出了证明。
无论是证明思路还是过程,都简洁明了,几乎无懈可击。
台下,也响起了学生们的议论声。
“这家伙到底是谁啊,深藏不漏呀!”
“这道题我一直没什么思路,没想到他竟然这么快就给解出来了。”
“看样子我们数学系牛人还挺多的。”
……
不少人纷纷将目光聚焦到庞学林身上。
王崇庆脸色微沉,上课睡觉,就算成绩再好也不行,他可不想轻易放过这家伙。
他想了想,说道:“这位同学,看来你的基础不错,那你就给大家讲讲,你对泛函分析这门课的理解吧。”
泛函分析本质上属于高度抽象化的一门课程,这也是它难学的原因,就算让一位博士上台,也不一定能完完整整地将自己对这门课的理解描述出来。
王崇庆嘴角微微翘起,他可不相信一个本科生有这样的能耐。
“老师,你确定……让我来讲课?”
庞学林笑了起来。
“确定!”
王崇庆隐隐感觉到对方的笑容中有点诡异,不过他还是点了点头。
庞学林道:“既然如此,那我就从泛函分析这门课的历史开始说起吧。”
“众所周知,泛函分析这门学科诞生于20世纪的初期,本身是数学发展中公理化的一个结果。也就说,数学家希望实现分析学的公理化。同样的公理化运动也出现在几何和代数上。现在的泛函分析已经变成一个庞然巨兽了,特别是把它和调和分析放在一起的时候,很难分清楚什么叫做调和分析,什么叫做泛函分析。不过我接下来要讲的不是为了搞清楚它的定义,而是关注它的基础和未来的发展趋势。”
“我们首先讨论一些早期的抽象分析,尤其是数学家如何将一个特殊的例子扩大化,使之成为一般意义上的定理。我们的讨论主要涵盖以下内容。一、Fredholm,Hilbert关于积分方程的工作;二、Volterra和Hadamard关于动量问题的研究;三、Lebesgue,Frechet和Riesz在抽象空间上的工作以及最后,Hahn和Banach关于对偶这个概念的研究……”
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