第二十章 问答
庞绍安和姚建中面面相觑,即使庞绍安知道自己孙子不是那种满嘴跑火车的人,可BSD猜想的地位在那儿,这种级别的难题,被一个23岁的年轻人给证出来了,想想就有种魔幻现实主义的感觉。
一时间,小院陷入了一种诡异的寂静之中。
“小林,你怎么杵在院子里呢,来,帮奶奶择菜。”
奶奶王秀芳从屋子里走了出来,见众人一脸呆滞的模样,不由得出声道。
“还择什么菜,小林,走,我们去书房,你论文带了吗?我要先看看。“
庞学林微笑道:“爷爷,论文我已经上传到arXiv了,邮箱里也有,可以直接下载。”
“我也去!”
姚建中也跟着起身道。
“你们这是怎么了?”
王秀芳看着迫不及待的庞绍安和姚建中,有些不解道。
来到书房,庞学林登上邮箱,将论文直接下载下来,交给庞绍安审阅。
姚建中则坐在一旁,不时瞅瞅庞绍安和庞学林。
他是理论物理学家,BSD猜想这种级别的数学论文,他自然看不懂,不过这并不妨碍他在一旁看热闹。
之前他老伴想把自己的宝贝孙女介绍给庞学林,他还有些微词。
在他看来,庞学林太过于专注学术,性子虽然不算木讷,但也不是那种特别多话的人,自己孙女活泼好动,和他在一起,两人未必能合得来。
但现在,庞学林的表现却让他刮目相看。
如果庞学林真的证明出了BSD猜想,那三年后庞学林必得菲尔兹奖。
二十六岁的菲尔兹奖得主,应该是破纪录了,这样一位学者,未来的成就几乎不可限量。
自己的孙女虽然是北舞的一枝花,但从某种程度上说,还真不一定配得上庞学林。
庞学林和庞绍安自然不知道姚建中乱七八糟的想法,此时,庞绍安所有的心思都沉浸在庞学林的论文之中,一页一页慢慢翻看。
庞绍安主要研究领域是微分几何与拓扑学,因此,这篇BSD猜想的证明论文对他而言有些吃力。
大概看了半小时,庞绍安便摘下老花镜,摇头道:“老了老了,小林,你这篇论文,说实话爷爷我有些跟不上了,不过我大概还是看懂了你的证明思路,你是从同余数问题着手的,对吧?”
庞学林点了点头,竖起了大拇指道:“爷爷你果然慧眼如炬!”
庞绍安摆了摆手道:“臭小子,出国读了几年书,倒是学会拍马屁了,我是不行了,待会儿等小刘过来,让他看看,他在数论与代数几何领域都有很深的研究,他应该能看明白。“
姚建中笑道:”老庞,没想到你也有搞不定的时候。”
庞绍安瞪着眼道:“也就是我现在年纪大了,要是放在年轻的时候,我啃上几个月,肯定能把这篇论文搞明白。”
“哼,你就臭屁吧!”
姚建中不屑道。
这两位老头互怼是常态,庞学林笑眯眯的看着,也不参与。
没过一会儿,王秀芳带着一个脑袋有些秃顶,戴着眼镜的中年男子走了进来。
来人正是江城大学数学科学学院院长刘廷波。
刘廷波笑道:“庞教授,姚教授,你们好。”
接着,他将目光转向庞学林,说道:“小庞,你这回在数学界放了颗原子弹啊!”
庞学林有些好奇道:“刘院长,我今天凌晨才把论文上传到arXiv,你们怎么这么快就知道了?”
刘廷波道:“还不是托你那位老师的福,陶哲轩看完你的论文后,第一时间联系了德利涅、法尔廷斯、丘成桐这些大佬,说你很有可能解决了BSD猜想的问题,然后把论文分享给了他们。也不知怎么回事,这本来是小圈子里的事,结果一下子给传出去了,现在整个数学界都沸腾了。邱教授没有你的联系方式,直接把电话打到我头上,我还一脸懵着呢!我说你这次,该不会是给我放卫星吧?”
庞学林微笑道:“刘院长,论文在这呢,要不你先看看?”
庞绍安也跟着说道:“小刘,你是代数几何与数论领域的专家,正好给小林把把关!”
刘廷波苦笑道:“庞教授,把关我可不敢当,小庞要是真解决了BSD猜想,都可以当我老师了!”
话虽然这样说,刘廷波还是坐在了电脑前,仔细看了起来。
一边看,他一边还时不时就论文中的一些疑问和庞学林做交流。
“小庞,这里假定D无平方因子,简单的初等考量显示D为同余数等价于椭圆曲线E_D:y^2=x^3-D^2x上有某个y\neq0的有理点。可以证明这样的点不属于T,于是D为同余数又等价于r_D>0。(同余数问题)决定所有同余数D,使得r_D>0。对于给定素数p,(1)p\equiv3(\mod8):p不是同余数但2p是同余数;(2)p\equiv5(\mod8):p是同余数;(3)p\equiv7(\mod8):p和2p都是同余数。你使用的工具是Heegner点的高度理论,你是怎么将它和L'(1,E)联系起来的?还有,你是如何确定D均为同余数的?“
庞学林在三体世界的时候便经受住了那些顶尖数学家的狂轰乱炸,对付这种问题应付起来轻松异常,对答如流道:”关于E的Weil-Hasse函数L(s,E)的定义,一个经典结果是a_p有Hasse上界2\sqrt{p},这推出L(s,E)对\mathrm{Re}\,s>\frac{3}{2}收敛。然后我们根据Gross-Zagier公式,就可以将其与L'(1,E)联系起来。另外,BSD猜想对E_D成立。特别的,r_D>0当且仅当L(1,E_D)=0。假定弱BSD猜想成立,则(1)理论上我们能够判定D是否为同余数;(2)Tunnell定理给出在有限步内决定D是否为同余数的算法;(3)可以证明D\equiv5,6,7(\mod8)时r_D为奇数,故这样的D均为同余数。“
刘廷波思索了片刻,满意地点了点头,过了一会儿,他又问道:“你这里说,L(s,E)在s=1处展开的泰勒系数和E的Tate-Shafarevich群的阶数成正比,你是怎么得出这样的结论的?还有这里,E(Q)(Mordell-Weil群)有自然的交换群结构,你前面根据Mordell定理进一步断言E(Q)是有限生成的:E(Q)=\BbbZ^r\oplusT,此处挠群T是某个有限Abel群,r称为E的秩。我们对T的了解是完全的:Mazur决定了所有15种可能的T。那么R呢?你这里是不是缺少了对R的有效刻画?“
庞学林道:“基于Eichler,Shimura在模椭圆曲线方面的工作以及新近证明的Taniyama–Shimura猜想(模定理),现在知道L(s,E)可解析延拓到整个复平面并且相应的Riemann猜想成立。BSD猜想在R等于L(s,E)在s=1处零点的阶数m。在模定理已获证明的情况下,已知BSD猜想对m=成立,故L(s,E)在s=1处展开的泰勒系数和E的Tate-Shafarevich群的阶数成正比,更进一步的话,又可以推出Tate-Shafarevich群的有限性。”
刘廷波沉吟了半晌,竖起大拇指道:“你从同余数问题上间接证明了BSD的弱猜想,再由此扩展成广义BSD猜想,这种办法真是绝了!”
……
接着,刘廷波与庞学林一问一答,几乎每一个问题,庞学林都能不假思索地给出答案。
时间一分一秒过去,就连王秀芳做好了晚饭,上来想要叫他们吃饭,也被庞学林与刘廷波之间的问答所吸引,看了半天后,王秀芳悄悄地退出了书房,不去打搅他们。
一直到晚上十点,刘廷波才彻底将这篇论文彻底审阅完毕,两人之间的问答也随之结束。
一旁的庞绍安和姚建中虽然跟不上两人的思路,但情绪也始终处于亢奋状态。
他们看得出来,在这一问一答中,一个世界级的难题,正在从庞学林手中徐徐解开。
这种亲眼见证一个世界级数学难题慢慢展露真颜的过程,让在场的所有人都兴奋不已。
庞绍安看着刘廷波道:“小刘,小林的证明怎么样,你觉得他成功了吗?”
刘廷波道:“庞教授,我不敢说小庞百分之百证明了BSD猜想,对这篇论文,我有八九成把握。小庞,你看这样如何,你这篇论文才上传arXiv不久,我们等过一段时间,等德利涅、法尔廷斯这些大佬相继表态,我再给你在江大安排一场学术报告会,到时候应该能吸引到全世界顶级数学家与会。这段时间,你暂时不用上课了,安心为报告会做准备,PPT最好做得详细一点。“
庞学林笑道:“刘院长,上课倒没什么问题,反正距离正式开课还有几天时间,我每周也就一、三、五有课,给本科生上课,对我而言反而是一种放松。”
刘廷波想了想道:“行,那我就不勉强你了,哈哈,小庞这次多谢你了,刚回母校,就给母校先上了这样一份大礼。”
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一时间,小院陷入了一种诡异的寂静之中。
“小林,你怎么杵在院子里呢,来,帮奶奶择菜。”
奶奶王秀芳从屋子里走了出来,见众人一脸呆滞的模样,不由得出声道。
“还择什么菜,小林,走,我们去书房,你论文带了吗?我要先看看。“
庞学林微笑道:“爷爷,论文我已经上传到arXiv了,邮箱里也有,可以直接下载。”
“我也去!”
姚建中也跟着起身道。
“你们这是怎么了?”
王秀芳看着迫不及待的庞绍安和姚建中,有些不解道。
来到书房,庞学林登上邮箱,将论文直接下载下来,交给庞绍安审阅。
姚建中则坐在一旁,不时瞅瞅庞绍安和庞学林。
他是理论物理学家,BSD猜想这种级别的数学论文,他自然看不懂,不过这并不妨碍他在一旁看热闹。
之前他老伴想把自己的宝贝孙女介绍给庞学林,他还有些微词。
在他看来,庞学林太过于专注学术,性子虽然不算木讷,但也不是那种特别多话的人,自己孙女活泼好动,和他在一起,两人未必能合得来。
但现在,庞学林的表现却让他刮目相看。
如果庞学林真的证明出了BSD猜想,那三年后庞学林必得菲尔兹奖。
二十六岁的菲尔兹奖得主,应该是破纪录了,这样一位学者,未来的成就几乎不可限量。
自己的孙女虽然是北舞的一枝花,但从某种程度上说,还真不一定配得上庞学林。
庞学林和庞绍安自然不知道姚建中乱七八糟的想法,此时,庞绍安所有的心思都沉浸在庞学林的论文之中,一页一页慢慢翻看。
庞绍安主要研究领域是微分几何与拓扑学,因此,这篇BSD猜想的证明论文对他而言有些吃力。
大概看了半小时,庞绍安便摘下老花镜,摇头道:“老了老了,小林,你这篇论文,说实话爷爷我有些跟不上了,不过我大概还是看懂了你的证明思路,你是从同余数问题着手的,对吧?”
庞学林点了点头,竖起了大拇指道:“爷爷你果然慧眼如炬!”
庞绍安摆了摆手道:“臭小子,出国读了几年书,倒是学会拍马屁了,我是不行了,待会儿等小刘过来,让他看看,他在数论与代数几何领域都有很深的研究,他应该能看明白。“
姚建中笑道:”老庞,没想到你也有搞不定的时候。”
庞绍安瞪着眼道:“也就是我现在年纪大了,要是放在年轻的时候,我啃上几个月,肯定能把这篇论文搞明白。”
“哼,你就臭屁吧!”
姚建中不屑道。
这两位老头互怼是常态,庞学林笑眯眯的看着,也不参与。
没过一会儿,王秀芳带着一个脑袋有些秃顶,戴着眼镜的中年男子走了进来。
来人正是江城大学数学科学学院院长刘廷波。
刘廷波笑道:“庞教授,姚教授,你们好。”
接着,他将目光转向庞学林,说道:“小庞,你这回在数学界放了颗原子弹啊!”
庞学林有些好奇道:“刘院长,我今天凌晨才把论文上传到arXiv,你们怎么这么快就知道了?”
刘廷波道:“还不是托你那位老师的福,陶哲轩看完你的论文后,第一时间联系了德利涅、法尔廷斯、丘成桐这些大佬,说你很有可能解决了BSD猜想的问题,然后把论文分享给了他们。也不知怎么回事,这本来是小圈子里的事,结果一下子给传出去了,现在整个数学界都沸腾了。邱教授没有你的联系方式,直接把电话打到我头上,我还一脸懵着呢!我说你这次,该不会是给我放卫星吧?”
庞学林微笑道:“刘院长,论文在这呢,要不你先看看?”
庞绍安也跟着说道:“小刘,你是代数几何与数论领域的专家,正好给小林把把关!”
刘廷波苦笑道:“庞教授,把关我可不敢当,小庞要是真解决了BSD猜想,都可以当我老师了!”
话虽然这样说,刘廷波还是坐在了电脑前,仔细看了起来。
一边看,他一边还时不时就论文中的一些疑问和庞学林做交流。
“小庞,这里假定D无平方因子,简单的初等考量显示D为同余数等价于椭圆曲线E_D:y^2=x^3-D^2x上有某个y\neq0的有理点。可以证明这样的点不属于T,于是D为同余数又等价于r_D>0。(同余数问题)决定所有同余数D,使得r_D>0。对于给定素数p,(1)p\equiv3(\mod8):p不是同余数但2p是同余数;(2)p\equiv5(\mod8):p是同余数;(3)p\equiv7(\mod8):p和2p都是同余数。你使用的工具是Heegner点的高度理论,你是怎么将它和L'(1,E)联系起来的?还有,你是如何确定D均为同余数的?“
庞学林在三体世界的时候便经受住了那些顶尖数学家的狂轰乱炸,对付这种问题应付起来轻松异常,对答如流道:”关于E的Weil-Hasse函数L(s,E)的定义,一个经典结果是a_p有Hasse上界2\sqrt{p},这推出L(s,E)对\mathrm{Re}\,s>\frac{3}{2}收敛。然后我们根据Gross-Zagier公式,就可以将其与L'(1,E)联系起来。另外,BSD猜想对E_D成立。特别的,r_D>0当且仅当L(1,E_D)=0。假定弱BSD猜想成立,则(1)理论上我们能够判定D是否为同余数;(2)Tunnell定理给出在有限步内决定D是否为同余数的算法;(3)可以证明D\equiv5,6,7(\mod8)时r_D为奇数,故这样的D均为同余数。“
刘廷波思索了片刻,满意地点了点头,过了一会儿,他又问道:“你这里说,L(s,E)在s=1处展开的泰勒系数和E的Tate-Shafarevich群的阶数成正比,你是怎么得出这样的结论的?还有这里,E(Q)(Mordell-Weil群)有自然的交换群结构,你前面根据Mordell定理进一步断言E(Q)是有限生成的:E(Q)=\BbbZ^r\oplusT,此处挠群T是某个有限Abel群,r称为E的秩。我们对T的了解是完全的:Mazur决定了所有15种可能的T。那么R呢?你这里是不是缺少了对R的有效刻画?“
庞学林道:“基于Eichler,Shimura在模椭圆曲线方面的工作以及新近证明的Taniyama–Shimura猜想(模定理),现在知道L(s,E)可解析延拓到整个复平面并且相应的Riemann猜想成立。BSD猜想在R等于L(s,E)在s=1处零点的阶数m。在模定理已获证明的情况下,已知BSD猜想对m=成立,故L(s,E)在s=1处展开的泰勒系数和E的Tate-Shafarevich群的阶数成正比,更进一步的话,又可以推出Tate-Shafarevich群的有限性。”
刘廷波沉吟了半晌,竖起大拇指道:“你从同余数问题上间接证明了BSD的弱猜想,再由此扩展成广义BSD猜想,这种办法真是绝了!”
……
接着,刘廷波与庞学林一问一答,几乎每一个问题,庞学林都能不假思索地给出答案。
时间一分一秒过去,就连王秀芳做好了晚饭,上来想要叫他们吃饭,也被庞学林与刘廷波之间的问答所吸引,看了半天后,王秀芳悄悄地退出了书房,不去打搅他们。
一直到晚上十点,刘廷波才彻底将这篇论文彻底审阅完毕,两人之间的问答也随之结束。
一旁的庞绍安和姚建中虽然跟不上两人的思路,但情绪也始终处于亢奋状态。
他们看得出来,在这一问一答中,一个世界级的难题,正在从庞学林手中徐徐解开。
这种亲眼见证一个世界级数学难题慢慢展露真颜的过程,让在场的所有人都兴奋不已。
庞绍安看着刘廷波道:“小刘,小林的证明怎么样,你觉得他成功了吗?”
刘廷波道:“庞教授,我不敢说小庞百分之百证明了BSD猜想,对这篇论文,我有八九成把握。小庞,你看这样如何,你这篇论文才上传arXiv不久,我们等过一段时间,等德利涅、法尔廷斯这些大佬相继表态,我再给你在江大安排一场学术报告会,到时候应该能吸引到全世界顶级数学家与会。这段时间,你暂时不用上课了,安心为报告会做准备,PPT最好做得详细一点。“
庞学林笑道:“刘院长,上课倒没什么问题,反正距离正式开课还有几天时间,我每周也就一、三、五有课,给本科生上课,对我而言反而是一种放松。”
刘廷波想了想道:“行,那我就不勉强你了,哈哈,小庞这次多谢你了,刚回母校,就给母校先上了这样一份大礼。”
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